Lucio Saffaro
TASSELLATURE CENTRALI E NON ARCHIMEDEE


Lucio Saffaro è nato a Trieste da una famiglia di lontana origine persiana. Si è laureato all'Università di Bologna in Fisica Pura e in seguito si è dedicato alla pittura, senza trascurare la ricerca scientifica. Ha infatti pubblicato molti articoli su nuove tassellature del piano, su nuove classi di poliedri, su reconditi aspetti dell'infinito matematico, su diverse strutture linguistico-assiomatiche. Ha iniziato a esporre i suoi quadri nel 1962 alla Galleria dell'Obelisco di Roma. Da allora ha partecipato alle maggiori esposizioni nazionali e internazionali, conseguendo numerosi premi e riconoscimenti. Dei suoi lavori sono state allestite tre grandi rassegne antologiche nella città di Verona, Bologna e Bassano del Grappa. Parallelamente ha perseguito le sue predilette ricerche letterarie, pubblicando numerose opere poetiche, alcune delle quali sono state tradotte in Francia e in Germania.

Il problema di ricoprire una superficie piana usando un solo tipo di tessera o di piastrella, senza lasciarne scoperta alcuna parte è stato sempre oggetto di studio da parte sia di artisti sia di matematici. All'inizio si trattò soltanto di una questione di arredo architettonico, poi ci si accorse che il problema conteneva profonde implicazoni matematiche. Si può dire però che solo in questi ultimi decenni questa branca della geometria ha raggiunto il suo culmine con la teorizzazione e la classificazione pressochè completa di tutta la materia divenuta ormai sterminata. Qui presenteremo qualche nuovo tipo di tassellatura, tra le poche ormai ancora possibili da esplorare.
Una tassellatura piana o a rete è dunque, in senso matematico, un aggregato di poligoni, combacianti a due a due, che ricoprono tutto il piano infinito una sola volta, in modo che ogni lato di ciascun poligono appartenga anche ad un altro, e a un solo altro poligono. La comune pavimentazione di una sala, con piastrelle quadrate o esagonali, è un esempio di porzione finita di una tassellatura piana.
Le tassellature fondamentali sono quelle costituite da un solo tipo di poligono, per di più regolare: si può dimostrare che di tali reti ne possono esistere soltanto tre, quelle formate da triangoli, quadrati o esagoni. Se si ammettono anche tassellature formate da due tipi di poligoni regolari, come per esempio quella di quadrati e di ottagoni e quella di triangoli e dodecagoni, il loro numero cresce sensibilmente. È notevole che i cinque poligoni regolari nominati restino i soli con cui si possono formare reti piane.
Se si vorrà costruire qualche nuova tassellatura sarà perciò necessario fare ricorso anche ad un tipo di poligono non più regolare, e precisamente al rombo. Convenendo di indicare un poligono regolare di p lati con il simbolo {p}, chiameremo immagine di {p} il rombo i cui angoli ottusi siano uguali all' angolo di vertice di {p} e lo indicheremo con il simbolo I{p}. Si noterà che una tassellatura è tanto più interessante quanta più simmetria possiede. I suoi gradi di simmetria dipendono dai movimenti che riportano la tassellatura in se stessa: le tre regolari per esempio vengono a ricoprire esattamente se stesse quando siano sottoposte alla rotazione di un certo angolo intorno a un dato punto, oppure alla traslazione di ampiezza data in una certa direzione.

LE TASSELLATURE CENTRALI

Chiameremo centrali le tassellature dotate di un centro intorno al quale possono ruotare fino a sovrapporsi a se stesse: tali reti avranno in generale minore simmetria di quelle usuali, in quanto mancanti di traslazioni. L'elemento centrale potrà essere un punto, un segmento o un poligono regolare. Intorno a un punto si possono disporre simmetricamente sia cinque, sia quattro triangoli (con sei, tre o due triangoli si ricade ovviamente in tassellature già note), e poichè la somma degli angoli concorrenti nel punto centrale di cinque o di quattro triangoli è uguale rispettivamente a 300° o a 240°, negli spazi rimasti tra i triangoli si potranno disporre cinque o quattro rombi uguali con l'angolo acuto pari rispettivamente a (360° - 300°)/5 = 12° o a (360° - 240°)/4 = 30°. Le figure così ottenute, formate da triangoli e rombi alternati, saranno il nucleo centrale delle nuove reti.
Si può seguire il medesimo procedimento con i quadrati: disponendone simmetricamente tre intorno ad un vertice, resta lo spazio per tre rombi con gli angoli pari a (360° - 270°)/3 = 30°, che formeranno il nucleo centrale di una terza tassellatura. Una tassellatura di esagoni regolari richiede già tre esagoni in un vertice, quindi esaurisce in partenza altre possibili disposizioni. Rimane un' ultima possibilità, quella di disporre attorno ad un vertice tre pentagoni alternati con tre rombi aventi l'angolo acuto uguale a (360° - 3 x 108°)/3 = 12°.
Abbiamo così costruito i nuclei centrali di quattro nuove tassellature con simmetria rotatoria e con il maggior numero possibile di poligoni regolari insieme al minor numero possibile di rombi. Si noterà che i due rombi I{30} e I{12} che riempiono gli spazi tra i triangoli sono gli stessi di quelli che riempiono gli spazi tra i triangoli ed i pentagoni.
Sui contorni di questi nuclei centrali i lati dei poligoni formano concavità in cui andranno disposti nuovi poligoni, che formeranno un nuovo perimetro concavo-convesso. Si potranno aggiungere poi altri poligoni per ottenere un terzo poligono e così via: la tassellatura si amplia e copre una porzione di piano sempre più estesa intorno al vertice centrale.
Questo ampliamento può avere solo tre esiti. La prima possibilità è che a un certo punto si raggiunga un perimetro ovunque convesso, per cui non è più possibile proseguire la costruzione e la tassellatura si arresta. Poichè la costruzione è avvenuta sempre simmetricamente, il perimetro finale convesso sarà necessariamente quello di un poligono regolare o al più quello di un poligono semiregolare, cioè di un poligono con tutti i lati uguali, ma con più tipi di angoli, oppure con tutti gli angoli uguali, ma con i lati di lunghezza diversa. In questo caso la tassellatura risulta ovviamente finita e risolve il problema di tassellare l'interno di un poligono. Solo per l'esagono ed il dodecagono esiste una tassellatura di soli poligoni regolari; per tutti gli altri poligoni sarà necessario fare ricorso anche ai rombi. Osserviamo inoltre che per ogni poligono esistono più tassellature essenzialmente diverse e che il tentativo di stabilirne il numero crea uno dei tipici problemi per la cui soluzione non esiste alcun algoritmo noto.
La seconda possibilità si manifesta quando oltre un certo perimetro la tassellatura cresce ripetendo l'ultima configurazione raggiunta e può quindi estendersi all'infinito senza più introdurre nulla di nuovo. Intere porzioni "semi-infinite" del piano potranno così venire ricoperte da reti di quadrati, o di esagoni, o di rombi uguali, o da reti miste comprendenti anche altri poligoni.
Si ha la terza ed ultima possibilità quando la tassellatura continua a estendersi all'infinito senza che si presenti mai un perimetro ovunque convesso o la ripetizione uniforme della struttura. Potremmo succintamente indicare queste tre possibilità dicendo che la tassellatura è rispettivamente finita, infinita periodica, infinita aperiodica. Poichè non pare possibile se non in casi particolari, prevedere teoricamente l'andamento della tassellatura, non si potrà mai avere la certezza che l'estendersi all'infinito di una rete obbedisca alla terza possibilità. Una congettura sul verificarsi di questo caso non è stata ancor oggi decisa (è forse indecidibile?) al pari di quella ben nota di Christian Goldbach nella teoria dei numeri. Per questo sarebbe estremamente interessante uno studio approfondito del comportamento all'infinito di queste tassellature, in vista dell'eventuale apprestameno di un algoritmo che decida il problema. (....).

LE TASSELLATURE NON-ARCHIMEDEE

È possibile costruire una tassellatura che risponda ai requisiti ora indicati e che nel contempo abbia ancora una certa regolarità? La risposta resta affermativa, anche quando si impongono le tre seguenti condizioni estremamente restrittive: 1) la tassellatura deve riempire un poligono semiregolare; 2) i suoi poligoni devono essere tutti simili; 3) tutti i vertici in cui si incontrano tre o più poligoni devono essere regolari, cioè i lati che vi concorrono devono formare tra loro angoli uguali. Si può effettivamente costruire una sola tassellatura cosiffatta.
Essa riempie un esagono semiregolare e il suo poligono costitutivo ha come perimetro un ottagono concavo-convesso che si ottiene da un esagono (con due lati opposti di lunghezza radice quadrata di 2/2 , gli altri quattro di lunghezza unitaria. La tassellatura ha una struttura autosimile, in quanto si può ingrandire senza fine una sua qualunque parte ottenendo sempre le stesse configurazioni. La presenza delle poligonali spiroidali e la forma a cardioide del perimetro dei suoi poligoni, insieme alla sua proprietà di autoreplicarsi la apparentano manifestamente ai frattali.
Si può ancora costruire una seconda tassellatura non-archimedea che riempia un quadrato e i cui poligoni si incontrino nei vertici a quattro a quattro. Essi hanno un perimetro esagonale concavo-convesso e al loro interno una doppia poligonale spiroidale. Tale struttura è analoga alla precedente, salvo che contiene anche dei quadrati.
Se ora immergiamo nel piano complesso Z queste due nuove tassellature in modo che i vertici vadano a coincidere con le radici terze e sestuple per la prima, e con le radici quarte della seconda, e applichiamo la trasformazione w = z elevato ad n (dove n può assumere valori diversi opportunamente scelti), otterremo una nuova configurazione che potrà essere rappresentata nella sua interezza nel piano W perchè sarà ancora limitata.
Variando sia la posizione delle tassellature sul piano Z sia il valore di n si può costruire una molteplicità di nuove interessanti figure. In particolare, poichè sotto l'operazione di innalzamento a potenza va perduta la linearità, successivi ingrandimenti delle tassellature trasformate daranno ora senza fine figure non più simili, ma sempre diverse.
Lucio Saffaro

Opere


Rassegna d'Arte Contemporanea
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Aggiornato il: 15 Giugno 2001