Le linee parallele sono quelle che tirate ugualmente distanti in infinito, mai non si cognongono, ne fanno superficie. La superficie è quella, che solo ha lunghezza, e larghezza causata da due linee, ouero da una linea fattane un circolo. Il corpo é quello, che è contenuto da tre misure, cioè lunghezza, larghezza e profondità.

Ieronimo Pico Fonticulano (1597)

Le opere d'arte non possono e non devono essere rinarrate nel linguaggio della scienza e della filosofia; e tuttavia le immagini dell'arte sono formule di comprensione della vita, parallele a quelle della scienza e della filosofia.

Pavel Florenskij (18 aprile 1925)

Con tutta sincerità, penso oggi che la strada da noi imboccata all'inizio, e seguita ancora oggi dalla maggioranza, sia sbagliata. E ritengo che nel complesso gli intenti, lodevolissimi, siano andati molto al di là dei mezzi per attuarli. La causa, per parlare francamente, è che mancavamo delle necessarie conoscenze geometriche.

Gino Severini (1921)

Sul piano plastico l'effetto delle geometrie quadridimensionali fu la riduzione del dipinto alla bidimensionalità, dato che solo in seno ad essa la quarta dimensione poteva essere, per proiezione, rappresentata.

Luc Ferry (1990)

Nel rappresentare la quarta dimensione come livello di realtà, o come colore, o come tempo, in qualche modo non si coglie nel segno. Ciò di cui abbiamo bisogno è il concetto di una quarta dimensione spaziale, ma è difficilissimo riuscire a visualizzarla direttamente. Ci ho provato a più riprese per quasi quindici anni e in quasi tutto questo tempo avrò avuto a dir molto quindici minuti di visione diretta dello spazio a quattro dimensioni.

Rudy Rucker (1984)

Il rompicapo della Quarta dimensione può essere assunto a paradigma del crollo delle bimillenarie certezze euclidee, e con esso, dei difficili, ma obbligati rapporti dialogici dell' Arte d' avanguardia (storica e neo) con la scienza.

La messa in crisi del dogma del quinto assioma ('Dato un punto qualunque che non stia su una retta data, esiste una e una sola retta che passa per quel punto') (1) ad opera di Bolyai, Lobachevsky e Gauss spalancherà le porte alla costruzione di nuovi mondi-universo immaginari ( ma non meno reali di quello euclideo), il cui acme sarà quindi toccato con la geometria riemanniana delle superfici pluriestese (2). Il non-indolore passaggio concettuale dall'atemporale mondo tridimensionale delle superfici piane, a quello spazio-temporale (curvo) einsteiniano, sconvolgerà le fondamenta di tutti i campi del sapere (arte compresa).

L'ampia letteratura scientifica e divulgativa di fine ottocento ed inizi novecento sulla Quarta dimensione ad opera dei vari Abbott, Hinton, Poincaré, Jouffret, Pawlowski, Ouspensky, non tarderà a penetrare, con una serie di ovvie mediazioni, negli ambienti artistici più avanzati.

Cubismo e Futurismo, ma anche personalità forti come Duchamp o Malevich, saranno in varia misura influenzati dalla 'poetica' della Quarta dimensione.

Tra i primi a chiarire il debito contratto dalla ricerca d'avanguardia con le nuove acquisizioni scientifiche, sarà Apollinaire: "Oggi gli scienziati non si limitano più a considerare le tre dimensioni della geometria euclidea. I pittori si sono trovati indotti con la maggiore naturalezza e, per così dire, intuitivamente, a preoccuparsi di nuove possibili misurazioni della dimensione, che nel linguaggio dei moderni studi di pittura venivano complessivamente e concisamente definite col termine di quarta dimensione" (3). E subito dopo il nostro si avventura in una personale definizione della dimensione superiore, senz'altro coerente secondo un'ottica creativa ed estetica, ma alquanto slabbrata e fantastica sotto l'aspetto scientifico : "La quarta dimensione si presenta allo spirito, dal punto di vista plastico, come generata dalle tre misure conosciute :essa rappresenta l'immensità dello spazio che, in un momento determinato, si slanci verso l'infinito in tutte le direzioni. E' lo spazio stesso la dimensione dell'infinito; è essa che carica di plasticità gli oggetti" (4).

Ma ben oltre le implicazioni scientifiche, la rivoluzionaria dimensione 'immaginaria' (5) aveva avuto soprattutto per gli artisti ed i movimenti desiderosi di sbarazzarsi dell'ingombrante eredità della tradizione , il merito d'indicare le vie più brevi (geodetiche diremmo oggi) da percorrere per saltare al di là dell'ingessante finzione tridimensionale della prospettiva rinascimentale.

In un articolo di Metzinger dell'11 viene precisato molto bene questo rivolgimento: "I cubisti hanno già sradicato il pregiudizio che obbligava il pittore a rimanere immobile di fronte all'oggetto, ad una distanza costante da esso, ed a fissare sulle tele niente di più di un'immagine fotografica

( ... ). Si sono permessi di muoversi intorno all'oggetto, per darne, sotto il controllo dell' intelligenza, una concreta rappresentazione formata da diversi successivi aspetti"(6). E' poi sottolineata l' importanza assunta dalla componente temporale nell'opera d'arte cubista: "Prima di oggi un dipinto padroneggiava solo lo spazio, oggi vive anche nel tempo. (... ) Questi pittori sono consapevoli del miracolo che si ottiene quando la superficie di un dipinto produce spazio, e non appena una linea minaccia di assumere un'importanza descrittiva o decorativa, la spezzano. Elementi di luce e ombra, distribuiti in modo tale che l'uno generi gli altri, giustificano queste rotture in termini plastici; l'armonizzazione delle rotture crea il Ritmo"(7).

I numerosi equivoci sorti attorno a queste ed altre affermazioni dei cubisti, erroneamente collegate alla teoria della relatività di Einstein, sono stati ben puntualizzati dalla Henderson : "L' errore degli storici dell'arte che si sono occupati di cubismo e la relatività è stato quello di ritrovare nella letteratura cubista del 1911 e del 1912 l' equivalente dello sviluppo in fisica di un continuum

spazio-temporale non-euclideo che non venne completato sino al 1915 o 1916. L'assenza del termine quarta dimensione dalla teoria della relatività fino al 1908 e l'assenza di una geometria noneuclidea sino a circa il 1916, fanno supporre che sia fortemente discutibile una possibile influenza della teoria della relatività sul cubismo" (8).

In effetti la confusione è nata a causa di due concetti (l'uno geometrico e l'altro fisico) del tutto diversi in materia di Quarta dimensione. Ed è il primo, e non poteva essere altrimenti, a fare da ponte al secondo, acclarata la possibilità di visualizzare geometricamente la dimensione superiore già dai tentativi fantascientifici ante litteram della Fatlandia di Abbott nel serrato, visionario dialogo tra il Quadrato e la Sfera: "Non ha forse insegnato il mio Signore che, come una Linea è delimitata da due punti, e un Quadrato da quattro linee, così un Cubo dovrà essere limitato da sei Quadrati? Osservate ancora una volta la conferma della serie 2, 4, 6 : non è questa una Progressione Aritmetica? E perciò non ne segue necessariamente, che il rampollo più divino del divino Cubo nella Terra delle Quattro Dimensioni dovrà essere delimitato da otto Cubi?" (9) .

Poiché a partire dalla configurazione delle tre dimensioni spaziali della Spaceland è possibile per il Quadrato vedere in modo inusuale gli oggetti, dalla Quarta dimensione in su, grazie all' Analogia ed allo spazio-pensiero della Toughtlandia, sarà consentito vedere l'interno di ogni cosa solida: "In quella beata regione a Quattro Dimensioni, indugeremo forse sulla soglia della Quinta, e non vi entreremo? Ah, no! Decidiamo piuttosto che la nostra ambizione si elevi di pari passo con la nostra ascesa corporea. Allora, cedendo all'assalto del nostro intelletto, le porte della Sesta dimensione si spalancheranno; e dopo quella di una Settima, e quindi un'Ottava..." (10).

Mentre la Scienza riuscirà sul finire dell'Ottocento a visualizzare geometricamente i "solidi a quattro dimensioni" soprattutto per merito dei lavori di Ludwig Schlafli e W. I. Stringham, l' Arte, al contrario, rinnegherà il mito della Terza dimensione per cadere inopinatamente nel paradosso

della neo-bidimensionalità cubista! Non a caso i futuristi avranno buon gioco nel contrapporre il loro avveniristico 'stile del movimento' nel testo in catalogo della mostra parigina del '12 : "Pur ammirando l'eroismo dei nostri amici Cubisti (... ) noi ci sentiamo e ci dichiariamo assolutamente opposti alla loro arte. Essi si accaniscono a dipingere l'immobile, l'agghiacciato e tutti gli aspetti statici della natura. Adorano il tradizionalismo di Poussin, d' Ingres, di Corot, invecchiando e pietrificando la loro arte con una ostinazione passatista che rimane, per noi, assolutamente incomprensibile" (11).

Per le stesse ragioni dei futuristi, non ci sentiamo di avallare la giustificazione 'geometrica' addotta da Luc Ferry per quanto attiene la regressione proiettiva bidimensionale dei cubisti: "La geometria quadridimensionale e le geometrie non euclidee - in particolare quella di Riemann - potevano nella mente degli artisti, incontrarsi in un punto: dar luogo cioè all'idea che bisognava farla finita con la prospettiva per ritornare alle due dimensioni. Giacché per un paradosso facilmente comprensibile, sul piano plastico l'effetto delle geometrie quadridimensionali fu la riduzione del dipinto alla bidimensionalità, dato che solo in seno ad essa la quarta dimensione poteva essere, per proiezione, rappresentata. Quell'arte delle illusioni che è la prospettiva non è in effetti di alcun aiuto nella rappresentazione degli ipercorpi" (12).

Ma più che ad una impossibilità tecnica, i limiti quadridimensionali dei cubisti sono da ascrivere, secondo noi, all'insufficienza delle loro conoscenze scientifiche, peraltro meglio assimilate dai futuristi, in primis per quanto attiene la percezione del movimento ( i cavalli da corsa di Muybridge solleveranno le quattro zampe contemporaneamente), nonché la scomposizione spazio-temporale delle immagini secondo i dettami cronofotografici di Marey. D' altronde il quadro di La crocifissione ed il relativo sottotitolo Corpus Hypercubicus di Salvador Dalì (1954) smentisce in un certo qual modo l'assunto di Ferry, grazie alla forza plastica quadridimensionale della Croce ipercubica.

Le obiezioni da noi sollevate non valgono naturalmente per il capolavoro di Duchamp, quella Mariée mise a nu par ces celibataires, mme, concepita come proiezione di una quarta dimensione invisibile : "Così come vedevo che si poteva fare l'ombra proiettata di una cosa a tre dimensioni, un oggetto qualsiasi - come la proiezione del sole sulla terra - così, per analogia semplicemente intellettuale pensai che la quarta dimensione poteva proiettare un oggetto a tre dimensioni o, in altre parole, che ogni oggetto a tre dimensioni, che noi guardiamo con indifferenza, è una proiezione di una cosa a quattro dimensioni, che noi conosciamo. Su questo è basata la Marieé nel Grande vetro, come una proiezione di un oggetto a quattro dimensioni"(13).

Più complesso e non ancora del tutto chiarito è il rapporto tra il Suprematismo di Malevich ed i debiti speculativi contratti tra la sua arte non-oggettiva e le nuove dimensioni spaziotemporali (dell' energia, dei campi e delle forze vettoriali, in particolare) teorizzate, scoperte e sperimentate dalla scienza. Tra il Quadrato nero del '15 ed il Quadrato bianco su fondo bianco del '18, si consuma gran parte del furore iconoclasta dell'artista russo condensato in superfici - piano liberamente fluenti in uno spazio (fisico e mentale) liberato finalmente dalle costrizioni della forza di gravità. La conoscenza sin dagli anni '10 - '13 della vulgata relativa alla quarta dimensione leggibile nel Tertium Organum di Ouspensky, e la sua influenza nei lavori di quegli anni, è ristretta da Andrei B. Nakov esclusivamente agli anni '13 -'1 5, anche se per la verità la parentela tra gli scritti teorici di Malevich e le sue opere fino agli inizi degli anni '20, lasciano intravedere più di un legame concettuale con quanto C. H. Hinton ( e più tardi Ouspensky) andavano scrivendo sulla visualizzazione della 'dimensione proibita', (ovviamente ai sensi, ma non alla ragione).

La domanda che ci si pone è ancora: come rappresentare la Quarta dimensione in un sistema di riferimento tridimensionale? Ed ecco un'altra soluzione geometrica: "Questa non può realizzarsi integralmente nel nostro sistema tridimensionale, ma può venir rappresentata per mezzo di piani che penetrano in quello spazio. (... ) Questi piani rappresentano soltanto la facciata di un 'oggetto' a quattro dimensioni, così come la figura bidimensionale rappresenta solo la proiezione in una diversa dimensione di un corpo geometrico tridimensionale. I moderni eredi dell'archetipo filosofico di Platone, Hinton e, ancor più di lui, Uspenskij, svilupperanno minuziosamente la loro rappresentazione dello spazio a quattro dimensioni mediante piani che penetrano nel nostro spazio tridimensionale. (... ) La nuova logica di concetti universali di tipo superiore, costruita tramite l' azione dinamica dei piani portava Uspenskij a concepire il 'mondo' come piani in movimento" (14).

E negli anni di incubazione del Suprematismo ('13-'15) coesisteranno in Malevich sia gli ultimi rantoli della pittura iconica, anche se a-logica e protosurreale come avviene in Vacca e violino, sia lo spazio- campo aggregante però le Composizioni sul principio magnetico ancora in un unico polo di attrazione, e pertanto costruttivo della forma, alla stregua della prospettiva monoculare rinascimentale. Di lì a poco, Quadrato nero, Suprematismo, Supremus e via dicendo cambieranno velocemente il vecchio statuto dell'opera d'arte, abolendo i posticci confini, tra quadro e parete

( cornice) , e, come corollario, l'indifferenza direzionale delle opere appese : "Negata ormai l' autorità del principio del punto di fuga unico, le forme suprematiste si lanciano contemporaneamente in più direzioni, come aspirate da un vento cosmico. Non vi è alcuna ossatura rigida che le guidi: solo l'esistenza del loro potenziale dinamico ne determina il movimento, che appare come il primo parametro della loro esistenza". Nel giro di quattro anni quelle forme pittoriche si dissolveranno nel ciclo 'Bianco su bianco', mentre gli ultimi sussulti suprematisti approderanno nelle purissime volumetrie razionali dei Planit e nelle architetture spaziali extra-terrestri, di chiara impostazione quadridimensionale, com'è rilevabile da un testo dello stesso Malevich del '18: "L'era preistorica è avanzata su un'unica linea, poi su due, su tre, ora su quattro linee nello spazio, staccandosi da terra" (15).

I molti fraintendimenti sulla Quarta dimensione da parte degli artisti, mentre non inficiano il valore delle opere, del tutto autonomo rispetto alle intenzioni matematizzanti degli autori, troveranno in alcuni episodi del futurismo una soluzione provvisoria, grazie al lavoro teorico sviluppato da Gino Severini, il quale riesce a chiarire negli insuperati saggi Les arts plastiques d' avant-garde et la science moderne e La peinture d'Avantgarde (1916-1917) l'intricata matassa dei rapporti tra arte e scienza.

Non conosciamo quale effetto abbia avuto sulle successive speculazioni di Severini, l' 'Equazione Futurista' proposta da Ugo Giannattasio in una lettera privata del novembre '13: "Sono contento che i miei ultimi disegni siano completamente liberi da ogni realtà di visione e che la forma creata domini completamente. A questo proposito ti mando la mia ultima conclusione che si potrebbe chiamare l'equazione Futurista:

Oggetto

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3 dimensioni + materiapeso + espansione > resistenza

_______________________________________________________________________________

valore assoluto = quarta dimensione

Come tu hai indovinato i miei propositi di disegni solo, se ne sono andati al diavolo, sentivo troppo imperiosamente il bisogno di colore e mi sono lasciato trascinare di gran cuore. Evviva la luce !" (16).

E' invece certa l'aderenza di Giannattasio - peraltro inviso a molti futuristi e definito imbecille da Carrà - alla poetica del Movimento, ed in particolare a quanto aveva scritto un paio di mesi prima Gino Severini nel suo Manifesto su Le analogie plastiche del dinamismo : (" Ormai nella nostra epoca di dinamismo e simultaneità non si può separare una realtà qualunque dai ricorsi, affinità o avversioni plastiche che la sua azione espansiva evoca simultaneamente in noi e che sono altrettante realtà astratte, points de repére, per raggiungere I' azione della realtà in questione") (17), o andava dipingendo in opere come Espansione sferica della luce (centrifuga) o Espansione sferica della luce (centripeta) esposte a Roma nella galleria Sprovieri (febbraio - marzo '14).

Punto focale di Les arts plastiques d' avant-gard et la science moderne è la constatazione del ritardo, nell'inevitabile allineamento tra arte e scienza ("I grandi avvenimenti intellettuali modificano gradualmente la nostra nozione dell'universo ed ogni elemento della nostra civiltà")

(18) , delle arti plastiche (visive) su quelle letterarie: "La letteratura ha sopravanzato le arti plastiche esprimendo un'estetica corrispondente alla nostra psicologia moderna. L'espressione di questa estetica, in accordo con questo idealismo che ha le sue radici nella vita della materia, noi la troviamo, al suo inizio, in Mallarmé e nei poeti simbolisti. (.... ) L'opera plastica corrispondente all' opera poetica di Mallarmé noi l'abbiamo solamente oggi" (19), (con il futurismo, naturalmente). Quanto al libro sul Cubismo di Apollinaire, dopo aver definito azzardata l'aggettivazione 'scientifico' in relazione ai lavori di Braque e Picasso (che esteticamente procede come Berthelot procedeva chimicamente nella sua decomposizione di un corpo organico e nella ricostruzione di questo stesso corpo), enuncia un principio-cardine dell'autonomia delle discipline artistiche e scientifiche : "Un solo o più punti di contatto con i metodi scientifici non rendono necessariamente

scientifica l'opera d'arte" (20).

Sarà quindi l'identificazione del futurismo e dell'arte d'avanguardia con il 'realismo ideista' (aggettivo che s'identifica nel Movimento Universale di Remy de Gourmont, e la cui valenza concettuale Severini preciserà in una nota di La peinture d' avant-garde) ad introdurre , in questo secondo saggio, l'analisi su 'La misurazione dello spazio e la quarta dimensione'.

Dopo aver ricordato che lo spazio ordinario del geometra si fonda sull'inamovibile convenzione delle 3 dimensioni, troppo limitate per gli artisti di ogni epoca, osserva che: " per misurare lo spazio occorre innanzitutto 'stabilire un continuo', ciò che fa un pittore ogni volta che crea una forma. Ma si tratta di un 'continuo intuitivo' e non di un 'continuo matematico'. D'altronde anche secondo H. Poincaré, la nozione di continuo deve essere intuitiva e non 'matematizzata'. Si può evidentemente costruire un oggetto con dei materiali matematici, ma con questo mezzo si può fare lo stesso oggetto con molte altre costruzioni. Tanto che una costruzione basata sulla nozione intuitiva del continuo non può essere un'altra cosa; i materiali sono disposti in un modo e non possono esserlo in un altro. Questo continuo che è rivelato ai nostri sensi è chiamato da H. Poincaré 'continuo fisico' . Un continuo si definisce 'fisico' allorché si possono considerare alcuni dei suoi elementi o sensazioni come le estremità di una catena di elementi-sensazioni appartenenti tutti ad uno stesso ordine"(21).

Punti, linee e superfici sono gli elementi (sezioni) che ci danno l'immagine dello spazio. Per stabilire un 'continuo fisico' a più dimensioni occorre considerare identiche le due estremità della catena di elementi-sensazioni, mediante un forte processo di astrazione che consenta di isolare uno o più sensi (così i cubisti tendono, dell'oggetto tridimensionale, ad esprimere di preferenza la forza di gravitazione, mentre i futuristi quella del ritmo e dell'espansione), "ma questa astrazione è un'ipotesi impossibile da realizzare, perché pur ammettendo che si possa isolare un senso dall'altro, ognuno dei nostri sensi dà una quantità di sensazioni che non hanno niente a che fare con lo spazio" (22) . E se secondo Poincaré il senso della vista è il più dotato per percepire il 'continuo fisico' (lo spazio), è sufficiente allora "combinare lo spazio visivo, preso a parte, con lo spazio tattile e si avrebbero 5 dimensioni; se si volesse aggiungere uno spazio relativo ad un altro senso, si avrebbero ancora 2 dimensioni, e così via per ogni senso" (23). Da tutto ciò si comprende come lo spazio a 3 dimensioni sia troppo limitato per un pittore contemporaneo. Ma dal punto di vista della fisica (scienza) è possibile "creare un mondo nuovo nel quale i fenomeni naturali saranno localizzati in uno spazio a 4 o N dimensioni. Si potrà così stabilire un 'parallelismo' tra i fenomeni del mondo 1 e quelli del mondo 2" (24).

La pittura, arte di costruzione, ha come sua grammatica la prospettiva (italiana), del tutto inadeguata per "esprimere un iperspazio, vale a dire uno spazio tanto completo quanto possibile

(... ). Le 3 dimensioni dello spazio ordinario non hanno mai soddisfatto il desiderio del pittore di prendere possesso del reale, e che egli ha sempre avuto l'intuizione di una quarta dimensione indeterminata. (... ) Questa quarta dimensione, non è, insomma, che l'IDENTIFICAZIONE DELL'OCGETTO E DEL SOGGETTO, DEL TEMPO E DELLO SPAZIO, DELLA MATERIA E DELL'ENERGIA. Il parallelismo del 'continuo fisico' che, per il geometra, non è che un ipotesi, si realizza con il miracolo dell'arte. Questa conclusione di carattere filosofico ed estetico trova conferma in Platone, Bacone e Gracian, e può essere ancora sostenuta dal punto di vista matematico. In effetti anche secondo Poincaré, con la sintesi dello spazio ordinario e del tempo si realizza un iperspazio a 4 dimensioni. Ma affinché questa sintesi possa giustificarsi matematicamente, occorrerà attribuire dei valori puramente immaginari (emotivi per l'artista) a questa quarta coordinata dello spazio: le quattro coordinate di un punto del nostro nuovo spazio non saranno x, y z, t, ma x, y, z, e radice quadrata di 1" (25).

Rivendica quindi, Gino Severini, lo spirito spiccatamente realista della nuova estetica che riesce a cogliere l'unità e la continuità del reale. Ed il ruolo dell'artista è quello di "comunicare veramente con la natura per fornire agli altri un'immagine chiara, spogliata di ogni simbolo" (26), mentre quello dell'arte moderna è di "cercare e fissare la direzione, la finalità, la durata del fenomeno, collegandolo a tutto l'universo, vale a dire da tutti gli altri fenomeni da cui l'artista non è realmente separato, e che appartengono al domani della nostra conoscenza al di fuori di ogni nozione di tempo e di spazio.( ... ) Il movimento ridiventa così ciò che è in realtà, una continuità, una sintesi di materia ed energia. Perché la nostra arte non vuole rappresentare una finzione della realtà, ma vuole esprimere questa realtà così come è. Questa realtà estetica è indefinibile ed infinita, essa non appartiene integralmente né alla realtà della visione, né a quella della conoscenza, ma partecipa ad entrambe; essa è per cosi dire la vita stessa, o la materia pensata nella sua azione ed ogni artista è il centro di questa azione" (27).

Sarà un altro futurista, Enzo Benedetto, a riproporre le tematiche severiniane con Quarta dimensione, testo scritto nel 1942 a Yol in India, e riproposto nel Giugno del '59 nella rivista Arte viva (diretta dallo stesso Benedetto) nel numero monografico dedicato al cinquantenario del Futurismo. Un testo questo, molto più puntuale e preciso di quelli fin' ora esaminati, anche per il tempo trascorso dalle prime riflessioni degli anni Dieci-Venti.

Ed un taglio speculativo più attuale e maggiormente in sintonia con i postulati scientifici si avverte subito nella prima parte, dedicata ad una reinterpretazione del dinamismo plastico boccioniano,

re-inquadrato da Benedetto all'interno delle nuove coordinate della Quarta dimensione. Dopo aver ribadito che nella natura non esiste nessun elemento statico (anche la morte è una trasformazione dinamica della materia) prosegue: "Soltanto il nulla può considerarsi immobile, fino a tanto che con questo termine si vorrà intendere ciò che non esiste; ma se si scoprisse - per assurdo - un nulla reale esso - per il solo fatto di esistere - sarebbe vitale, quindi dinamico, e dovremmo ricorrere alla convenzione di un nuovo nulla per immaginare qualcosa in assoluta calma statica" (28).

Di conseguenza, il moto creativo dell'artista non può prescindere da questo dinamismo intrinseco in ogni particella della materia, e poiché " La fisica - per quanto ciò possa avere un riferimento molto relativo all'arte - ritiene che il mondo in cui agiamo viva in uno spazio quadridimensionale, lo spazio-tempo, (... ) i fenomeni della natura si inquadrano non solo entro le tre dimensioni delle quali i nostri sensi elementari si rendono conto, ma anche nella quarta dimensione 'tempo', in correlazione ed interdipendenza ognuna delle altre tre, occorre sentire anche la quarta dimensione che è appercepita dall'intelligenza e costituisce la chiave equilibratrice delle altre tre" (29).

Sono la musica e la poesia ad esprimere gli aspetti quadridimensionali delle sensazioni determinate o indeterminate in quanto: " Queste forme d'arte afferrano l'essenza dei pensieri e delle cose e le circoscrivono in un certo spazio quadridimensionale che va dallo zero + n all'infinito. La realtà quadridimensionale della poesia e della musica è una 'quantità' relativa (senza legami con le nozioni della fisica) e l'artista, nel disporre, si giova della piena libertà concessa dalla natura alla sua sensibilità creativa" (30).

Mentre la musica e la poesia sono coerenti con la percezione del flusso temporale, "Nelle arti figurative si realizza, invece, con indifferenza, il paradosso di trascurare la quarta dimensione che ci circonda ed anima le cose, considerando soltanto le tre dimensioni percepibili attraverso i sensi comuni.( ... ) La rappresentazione del moto dei corpi e delle sensazioni è dunque il mezzo per esprimere la quarta dimensione nelle arti figurative" (31). Infine, l'artista calabrese enuncia in otto postulati, i criteri per ricondurre la pittura e la scultura nell'alveo quadridimensionale. I primi tre sono dedicati alle modalità di rappresentazione del moto, il quarto alla revisione dei rapporti tra le quattro dimensioni; dal quinto all'ottavo l'attenzione è posta sugli ' angoli prospettici quadridimensionali' : ("Come ogni oggetto esaminato in tre dimensioni ha infiniti punti di vista prospettici, esaminato in quattro dimensioni, ha infiniti angoli prospettici quadridimensionali. Per angolo quadridimensionale si intende il punto astratto dal quale si osserva un dato aspetto della natura e dal quale si inquadrano - in un angolo di tempo - determinate lunghezze, altezze e profondità. Altrettanto accade per le rappresentazioni astratte") (32) .

L' opera d'arte quadridimensionale si realizza pertanto con "l'equilibrio armonico od anarmonico di questi modi individuali degli oggetti, degli esseri e della materia - animati dalla sensibilità dell' artista che realizza forme, colori e plastiche comunicative" (33).

Con questo 'acuto' di Enzo Benedetto possiamo concludere il dialogo quasi trentennale tra il futurismo e la Quarta dimensione, chiamando adesso nuovamente in causa - nei labirintici e per certi versi solari rapporti arte-scienza - le geometrie noneuclidee di Lobacevskji e Riemann, e, dopo questa, il rivoluzionario concetto spaziotemporale di Minkowski-Einstein, per approdare infine, a volo d'uccello, nella Geometria dei frattali, geometrie tutte legate dal comune denominatore dello scostamento minore possibile tra la realtà della natura (microfisica e ipergalattica) e la sua interpretazione-rappresentazione matematica.

Tra gli artisti contemporanei, è senza dubbio M.C. Escher ad essersi maggiormente avvicinato, per lo più con il solo strumento dell'intuizione, alle nuove versioni scientifiche dello spazio (adesso curvo) e del tempo (Quarta dimensione), ed alla esplorazione ipergrafica delle superfici (Divisione regolare del piano, Spazio illimitato, Cerchi e spirali spaziali, Immagini riflesse, Inversioni, Poliedri, Relatività, Conflitto tra superficie e spazio, Edifici impossibili, classificazioni tutte dell' artista). Ed è stata alquanto curiosa la dialettica instaurata tra il suo lavoro e quello di alcuni scienziati. Così mentre Escher motiva la genesi delle litografie Salita e discesa e Cascata ('60 - '61), con le seguenti parole: "La scala senza fine è il motivo principale di questo disegno che si riferisce a un articolo di L. S. Penrose e R. Penrose nel numero di febbraio del 1958 del British Journal of Psycology. Un cortile interno rettangolare è circondato da un edificio il cui tetto costituisce una scala senza fine. (... ) Nello stesso articolo, R. Penrose pubblicò il disegno prospettico di una costruzione triangolare, di travi illustrata qui sotto. Essa è composta da travi quadrangolari poste rettangolarmente una contro l'altra. Se seguiamo con gli occhi tutti i componenti di questa costruzione non siamo in grado di trovare nessun errore. Si tratta, invece, di un insieme impossibile."(34) , R. Penrose dal canto suo ricorda come, visitando una mostra di Escher, fosse rimasto colpito dalle 'sue figure impossibili': "Tornando a casa cercai di costruirne io stesso. Prova e riprova, alla fine mi viene un bizzarro triangolo, il tribar, che mostro subito a mio padre, adepto dei giochi matematici. Partendo dal triangolo papà costruisce una scala impossibile, e insieme pubblichiamo una memoria inviandone copia ad Escher. L'artista - lo sapremo dopo - era già sulla stessa strada e quando riceve la memoria usa il triangolo e la scala per produrre Cascata e l' altra litografia. In seguito l'ho conosciuto personalmente: protestava di non essere bravo in matematica, ma in realtà il grafico Escher era un matematico per istinto, un geometra.naturale" (35).

Non bisogna quindi meravigliarsi più di tanto se Escher deluderà profondamente il matematico H. S. M. Coxter, il quale trovava contraddittoria la capacità istintiva dell'artista olandese nell' assimilare modelli geometrici non-euclidei, derivati dalla geometria iperbolica esaminata più sopra

( come la superficie infinita in un grande cerchio finito, ove non esistono punti posti sopra o al di fuori del cerchio), e l'assoluta refrattarietà ad ogni lezione matematica esemplificatrice dei postulati teoretici. E' ancora R. Penrose a descrivere molto bene lo stretto rapporto esistente tra lo spazio lobacevskjiano e la interpretazione estetica datane da Escher nel Limite del cerchio I del '58: "Nella geometria euclidea, la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre 180. Nella geometria di Lobacevskji questa somma è sempre meno di 180 e la differenza è proporzionale all'area del triangolo. Il notevole artista olandese M. C. Escher ha prodotto alcune rappresentazioni molto belle ed esatte di questa geometria. Ogni pesce nero [di Limite del cerchio I] dovrebbe avere la stessa grandezza e forma di ogni altro pesce nero, secondo la geometria di Lobacevskij, e lo stesso vale per quelli bianchi. Questa geometria non può essere rappresentata in modo del tutto esatto nel comune piano euclideo: di qui l'apparente affollamento appena all'interno del confine circolare. Immaginiamo di trovarci all'interno del disegno, ma in prossimità di questo confine: la geometria di Lobacevskij ci apparirebbe allora esattamente come se ci trovassimo nel mezzo, o in qualsiasi altro punto. Quello che, secondo questa rappresentazione euclidea, ci appare come il 'confine' del disegno, è in realtà 'all' infinito' nella geometria di Lobacevskij" (36).

Il reticolo proiettivo della geometria iperbolica adottato da Escher per molti suoi lavori aventi come scopo la visualizzazione dell'infinito, arriva temporalmente alcuni anni dopo la sperimentazione di prospettive alternative a quelle rinascimentali. La molteplicità e la relatività dei punti di fuga (continue inversioni di Zenit e Nadir) ed il costante ricorso alle linee curve anziché rette, hanno indotto più di un matematico ad individuare nel reticolo progettato per Galleria di stampe ('56) niente altro che la riproduzione della "superficie di Riemann". E che la sua attenzione sia stata sempre calamitata dalla struttura dello spazio da un lato e dalla deformabilità della superficie dall' altro (si pensi ancora alla quadridimensionalità dello spazio-tempo curvo einsteiniano), può essere riscontrato anche nei lavori in cui le implicazioni matematiche di alcune superfici particolari (Striscia di Moebius II) sono spesso del tutto sconosciute all'autore.

D'altronde anche l'artista Max Bill, molto attento alle esigenze matematico-geometriche delle sue opere, aveva scoperto casualmente le particolari proprietà topologiche delle superfici a faccia unica dello stesso 'Nastro di Moebius' realizzando autonomamente nel '35 (Moebius aveva descritto le proprietà della sua superficie nel 1858) la scultura Endless Ribbon.

Ma che I paradossi della Quarta dimensione e delle geometrie non - euclidee, siano quanto mai attuali, ce lo dimostrano una serie di riflessioni degli stessi scienziati, situate spesso agli antipodi.

Ne scegliamo, tra le tante disponibili, due convergenti, anche se da punti di vista diversi: quelle dello psicologo Rudolf Arnheim e del matematico Rudy Rucker.

Per il primo, autore tra l'altro del celeberrimo Il pensiero visivo, l'accessibilità alla immaginazione mentale della Quarta dimensione, sarà possibile soltanto per "approssimazione o, più probabilmente, in base ai suoi effetti o alle sue proiezioni nello spazio tridimensionale" (37).

L'impossibilità di visualizzare la quarta dimensione (spaziale) è ricondotta ai limiti insiti nei calcoli geometrici, e, pertanto bisogna accontentarsi "di una visualizzazione frammentaria, se pure ve n'è una. Ciò significa anche, probabilmente, costruire con brandelli di comprensione, anziché pervenire a un'intuizione completa e vera dell'insieme" (38).

Ed annota molto opportunamente il secondo : " Nessuno è in grado di indicare la quarta dimensione, eppure essa ci circonda. Essa è argomento di meditazione per filosofi e mistici; i fisici ed i matematici la utilizzano nei loro calcoli. La quarta dimensione è parte integrante di molte serie teorie scientifiche (...). La quarta dimensione è una direzione diversa da tutte le direzioni dello spazio normale. Alcuni dicono che la quarta dimensione è costituita dal tempo e, in un certo senso, questo è vero. Altri affermano che la quarta dimensione è una direzione dell' iperspazio affatto diversa dal tempo... e anche questo è vero" (39).

Spetterà all'avvento dell'informatica ( Grafica computerizzata e Geometria frattale di

Mandelbrot - sul finire degli anni Sessanta -, e la Realtà virtuale di un Mark Pesce di

questa fine millennio), a spostare in un certo qual modo il baricentro estetico dal pennello dell' artista al computer dello scienziato. La partita, che in apparenza sembra dare ragione alla profezia hegeliana della morte dell'arte, in pratica è aperta a più di una soluzione. Prefiguriamone lo scenario, ricostruendo molto sommariamente le principali 'rotture' scatenate dalla situazione rivoluzionaria in corso.

Con la progressiva dematerializzazione in atto della realtà per mezzo della simulazione digitale, le stringhe di bit (1 o 0) hanno inizialmente dato informazioni di tipo numerico, per poi inglobare progressivamente immagini (anche analogiche come films e video), suoni, odori...

Lo sviluppo di software sempre più sofisticati consentono ora di visualizzare con molta più pertinenza di quanto non fosse stato possibile fino a qualche anno fa, non solo l' ipercubo, ma qualsiasi iperoggetto ad n dimensioni, e per di più in movimento.Visitando una mostra 'allestita' su in un CD-rom o su Internet, possiamo inoltre decuplicare a piacimento i potenziali punti di vista del fruitore virtuale di un quadro, una scultura o un'installazione (è un gioco da bambini guardarli dal soffitto). Non si tratta più di portare "lo spettatore al centro del quadro" come volevano i futuristi, o "dietro e sotto" l'oggetto come auspicavano i cubisti: l'artista "tradizionale", il faber manuale o concettuale che sia, deve adesso tener conto della infinita manipolabilità formale-digitale dell' opera originale, con conseguente devitalizzazione della sua aura così ben preconizzata con molto anticipo da Walter Benjamin nel futuribile saggio di L'opera d'arte nell'epoca della sua riproducibilità tecnica del '36: "Ciò che viene meno nell'epoca della riproducibilità tecnica è l' 'aura' dell'opera d' arte. Il processo è sintomatico; il suo significato rimanda al di là dell'ambito artistico. La tecnica della riproduzione, così si potrebbe formulare la cosa, sottrae il riprodotto all'ambito della tradizione. Moltiplicando la riproduzione, essa pone al posto di un evento unico una serie quantitativa di eventi. E permettendo alla riproduzione di venire incontro a colui che ne fruisce nella sua particolare situazione, attualizza il riprodotto" (40).

Le sequenze di files con cui sono create le nuove immagini direttamente sul computer (dallo scienziato con algoritmi e dall'artista mediante l'utilizzazione di software già disponibile o predisposto specificamente), o con cui sono semplicemente memorizzate con lo scanner le riproduzioni fotografiche di opere originali (tanto per fare un esempio spicciolo), hanno dilatato all' inverosimile la distanza auratica tra originale e copia. Ciò in quanto l'originale ha una consistenza immateriale come nel primo caso ed è quindi fruibile al meglio solo sul monitor, mentre la sua versione digitale (secondo caso) è manipolabile ad libitum nella gamma di colori, dimensioni, struttura compositiva etc., ritenuta più pertinente secondo il proprio gusto.

A questo proposito rileva Nicholas Negroponte: "La tecnica digitale offre concrete possibilità di apportare modifiche ad un'opera d'arte. Anche se questo può far pensare a una totale volgarizzazione di importanti opere culturali - come ridurre uno Steichen a cartolina postale o un Warhol in poster - la cosa fondamentale è che essere digitali consente di agire sul processo, non solo sul prodotto. Questo processo può essere la fantasia e l'ispirazione di un singolo, l' immaginazione collettiva di più persone, o la visione di un gruppo rivoluzionario" (41).

Non ci sentiamo di condividere del tutto questo ottimismo, in quanto le stesse immagini generate dalla nuova 'estetica del frattali', anche con l'uso delle sue equazioni iterative più riuscite, lasciano alquanto a desiderare in termini d'intuizione creativa prettamente artistica. Detto in altre parole: raramente possono coincidere in un'unica persona le qualità dello scienziato e dell'artista.

Né tanto meno il mezzo (il computer) può supplire allo scarto. Il richiamo avvertito da molti scienziati di fronte alle strabilianti forme irregolari ma autosimili (non - euclidee) ipercolorate ed iperfrastagliate di Mandelbrot e di altri, assomiglia più all'abbaglio di un'attrazione virtuosistica che all' incantamento empatico con un'opera d'arte, in cui è facilmente distinguibile il confine separante il brutto dal bello, l'autentico (originalità) dal falso (maniera e imitazione).

Non altrettanto avviene con l' 'Insieme di Mandelbrot' ed altre forme autosimili, per esplicita ammissione dello stesso scopritore dell'algoritmo fondamentale, la formula Z + c, con z numero complesso: "Molto rapidamente (in uno sbatter di ciglia se il computer è abbastanza rapido) lo schermo si riempie di immagini del tutto astratte (che non rappresentano nulla della natura) e la cui complessità è incredibile. Molti le ritengono belle, altri le ritengono brutte e spaventose, ma comunque tutte le reazioni sono di carattere estetico. Cosa sono queste immagini? Come regola generale sono dei frattali. Data la loro incredibile complicazione, nulla le farà confondere con gli oggetti geometrici usuali, quelli della geometria di Euclide e dei suoi discendenti diretti" (42).

Già Gillo Dorfles nel suo Elogio della disarmonia aveva a suo tempo tentato una schematica ripartizione delle opere d'arte (predeterminate e aleatorie, armoniche e disarmoniche) precisando che per quanto riguarda le predeterminate : " è il caso di molta arte 'classica' (rinascimentale, antica, egiziana), nonché ai nostri giorni, di quella basata su programmazione numerica, su formule algebriche (Bill, Albers, Vantongerloo). (....) L'annosa disputa che vede contrapposti gli assertori di un'arte esattamente predeterminata che risponda ad un preciso programma di lavoro, che sfugga ad ogni lusinga d'aleatorietà; e gli assertori d'un arte basata su dati istintuali, irrazionali, germinali, che solo nel corso dell'operazione creativa, vengano ad essere sottoposti a una più o meno rigida sistemazione formale, mi sembra ancora attuale. (...) Eppure lo stesso Le Corbusier, ideatore del Modulor come strumento basilare per la costruzione dei suoi edifici, amava confessare che tale modulo era buono per i suoi discepoli e imitatori, ma che lui stesso ne trasgrediva quasi sempre le regole" (43).

E mentre allo stato attuale dell'Arte digitale ci sembra molto problematico trasgredire gli algoritmi, ed in particolar modo da parte di artisti-non-scienziati, l' algida pseudo-bellezza 'matematica' dei frattali di Mandelbrot e degli inevitabili epigoni, ci lascia perplessi ed indifferenti, tanto prevedibili, se non addirittura noiose, sono le ibride soluzioni formali di queste figure geometriche di dimensione intermedia, interessanti senz'altro dal punto di vista geometrico, ma non altrettanto coinvolgenti come le opere d'arte autentiche.

E' quasi sempre il loro eccesso di 'bellezza artefatta' a degradarle in kitsch; ed ha quindi ragione John Briggs allorché rileva: "Perciò i frattali dell' insieme di Mandelbrot sono quasi arte, ma non del tutto. Le parti sono troppo simili, o in certi casi troppo diverse tra loro, per generare quella ragnatela riflettaforica piena di ambiguità che caratterizza una grande opera d'arte. L'arte è molto più di una permutazione di forme tra loro simili" (44).

Ecco perché, nell' ordinare la Rassegna " Dalla geometria euclidea di Pico Fonticulano alle cosmometrie del Terzo millennio" allestita in occasione del Quarto centenario della morte del poliedrico architetto, urbanista, matematico, topografo-cartografo, trattatista del secondo cinquecento aquilano, ci siamo preoccupati - nell'invitare gli artisti partecipanti

( Maurizio Benveduti, Gabriele-Aldo Bertozzi, Vito Bucciarelli, Tullio Catalano, Mario Lanzione, Marcello Mondazzi, Vito Moretti, Luciano Romoli, Lucio Saffaro, Benedetto Taliento) - di esaltare al massimo le analogie e le differenze dell'approccio metodologico creativo dei singoli autori.

Approccio peraltro leggibile nelle concertanti dichiarazioni poetiche in catalogo che spaziano dalle posizioni più marcatamente ideologizzate di Maurizio Benveduti e Tullio Catalano, a quelle più prettamente scientifiche di Vito Moretti, Luciano Romoli e Lucio Saffaro; ancra a quelle maggiormente in linea con la storia dell'arte aniconica contemporanea come avviene in Mario Lanzione e Benedetto Taliento, per finire (ma è un ri-cominciare), con le posizioni dichiaratamente neo-avanguardiste di Gabriele-Aldo Bertozzi e Vito Bucciarelli.

In tal modo ci sembra di aver sottolineato a sufficienza il passaggio concettuale, ma non solo, che dalla geometria euclidea bi-tri-dimensionale ci ha condotto a dimensioni di ordine superiore: qui ed ora, l'infinitamente piccolo e l' infinitamente grande di inimagginabili ed inosservabili grandezze spazio-temporali garantiscono aperture di credito ad una creatività senza fine e senza frontiere, alla stregua di un Universo percepibile solo nel suo passato ed evolutosi nel corso di Ere ed Ere (non appartenenti al microscopico tempo umano), dal semplice al complesso.

Sta all'arte svelarne i più riposti segreti, utilizzando magari algoritmi vieppiù sofisticati

dal punto di vista matematico, ma non per questo oltrepassanti l'intuito esclusivamente poetico di un Einstein.

Antonio Gasbarrini

NOTE

(1) "Nella prima metà del diciannovesimo secolo alcuni matematici che vivevano in tre diversi paesi d'Europa scoprirono delle geometrie non euclidee: lo stesso Gauss, Janòs Bolyai in Ungheria, e Nicolai Ivanovich Lobachevsky in Russia. Tutti e tre compresero che si poteva costruire una geometria bidimensionale, formata da punti e da linee che realizzavano la proprietà della minima distanza, che soddisfaceva ai primi quattro assiomi di Euclide ma non al quinto. Il postulato delle parallele affermava che dato un punto ed una retta fuori ad esso, esisteva una e una sola retta parallela alla retta data. C'erano due modi di negare questo postulato: o tutte le rette passanti per il punto incontravano la retta data (il che equivaleva a dire che non c'erano rette parallele tra loro), o c'erano due o più rette diverse passanti per quel punto che non incontravano la retta data (cioè la parallela esisteva ma non era unica). (.... ) L'assioma alternativo che stabiliva che c'era più di una retta passante per un punto dato che non incontrava una retta data conduceva ad una geometria iperbolica, (.... ) [mentre il secondo assioma portava invece ad una geometria ellittica" . Sta in: T. BANCHOFF, Oltre la terza dimensione, Zanichelli Editore, Milano 1993, p. 186.

Tra le altre conseguenze, vi è quella che la somma degli angoli interni di un triangolo, non è più di 180 : " La geometria particolare che ci è stata lasciata in eredità da Euclide descrive con grande precisione lo spazio fisico del mondo in cui viviamo, ma questa non è una necessità logica, bensì solo un carattere osservato del mondo fisico. In effetti esiste un'altra geometria, quella di Lobachevsky (o iperbolica), che è molto simile a quella di Euclide sotto moltissimi aspetti, ma con alcune differenze molto interessanti. Per esempio, ricordiamo che nella geometria euclidea la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre 180. Nella geometria di Lobachevsky, questa somma è sempre meno di 180, e la differenza è proporzionale all'area del triangolo". Sta in: R. PENROSE, La mente nuova dell'imperatore, Rizzoli , Milano 1992, pp. 206. Va precisato che nella geometria ellittica la stessa somma è sempre più di 180.

(2) "E' noto che la geometria presuppone, come qualcosa di dato, sia il concetto di spazio, sia i primi concetti fondamentali per le costruzioni nello spazio. Di essi dà soltanto definizioni nominalistiche, mentre le determinazioni essenziali compaiono sotto forma di assiomi. La relazione tra questi presupposti resta dunque in ombra. (... ). La ragione di ciò sta probabilmente nel fatto che non è stato per nulla elaborato il concetto generale di grandezze pluriestese, in cui rientrano le grandezze spaziali. Mi sono dunque innanzitutto proposto di costruire il concetto di grandezza pluriestesa, a partire da concetti generali di grandezza. Ne risulterà che una grandezza pluriestesa è suscettibile di diverse relazioni metriche e che lo spazio costituisce dunque soltanto un caso particolare di grandezza triestesa. Ne consegue necessariamente che i teoremi della geometria non si possono derivare dal concetto generale di grandezza, ma che quelle proprietà, grazie alle quali lo spazio si distingue da altre grandezze triestese pensabili, possono essere tratte soltanto dall' esperienza". ( Vedi B. RIEMANN, Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria, Bollati Boringhieri, Torino 1994, p. 3). Annota in proposito il matematico Osserman: "L'essenza della

nuova concezione di Riemann era che noi dovremmo scandagliare lo spazio che ci circonda esattamente nello stesso modo prescritto da Gauss per lo studio di una superficie, seguendo vie dirette, eseguendo misurazioni e registrando ciò che troviamo, senza farci guidare da alcun preconcetto. Eseguiamo quello che Einstein avrebbe chiamato in seguito Denkexperiment, ossia un 'esperimento mentale': un esperimento progettato ed eseguito nella nostra immaginazione",

(R. OSSERMANN, Poesia dell'Universo, Longanesi & C., Milano 1996, pp. 83 - 84).

(3) G. APOLLINAIRE, Les peintres cubistes, Ed. Figuières, Paris, 1913, (citato in F. RUSSOLI, La struttura del reale nella visione cubista, Fratelli Fabbri Editori, Milano, 1967, pp. 3 - 4).

(4) Ivi.

(5) La valenza dell'aggettivo immaginario va intesa in senso matematico. Ecco quanto chiarisce Penrose a proposito dei numeri immaginari : "Dal punto di vista matematico risulta estremamente conveniente poter estrarre radici quadrate di numeri negativi oltre che positivi. Proviamo dunque semplicemente a postulare, o a 'inventare', una radice quadrata per il numero -1. Denoteremo il risultato di questa estrazione di radice col simbolo 'i', cosicché abbiamo i al quadrato = - 1. La quantità i non può ovviamente essere un numero reale, dal momento che il prodotto di un numero reale con per se stesso è sempre positivo (o zero se il numero é zero). Per questa ragione ai numeri il cui quadrato è negativo è stato applicato convenzionalmente il termine immaginario".

( R. PENROSE, op. cit. p.125).

La geometria immaginaria (iperbolica, vedi nota n.1) di Lobacevskij è così definita dal suo inventore in quanto "Lobacevskij non chiamo' la sua geometria 'non euclidea', bensì 'immaginaria'. Egli usò questo termine non perché considerasse la sua geometria meno reale di quella euclidea, ma perché molte espressioni della geometria sferica avevano equivalenti nella sua geometria che si potevano ottenere sostituendo semplicemente numeri immaginari a numeri reali",(R. OSSERMANN, op. cit. , p. 70).

(6) J. METZINGER, Cubisme et Tradition, Paris-Journal, 16 / 8 /' 11 (citato in E. F. FRY, Cubismo, Gabriele Mazzotta Editore, Milano 1967, p. 91).

(7) Ivi pp. 91-92.

(8) D. HENDERSON, The Fourth Dimension and Non-Euclidean Geometry in Modern Art, Priceton University Press, Princeton 1983, citato in M. EMMER, La perfezione visibile, Theoria 199 1, Roma-Napoli, p. 131.

(9) E. A. ABBOTT, Flatlandia - Racconto fantastico a più dimensioni, Adelphi, Milano, 1966, p. 136. Pubblicato anonimo nel 1882, ebbe anche una seconda edizione, riveduta, due anni dopo. Come precisa opportunamente in una nota il curatore della traduzione M. D'AMICO, Flatlandia, Spacelandia, Linelandia, Pointlandia e Toughtlandia, sono sinonimi, rispettivamente, del Paese del Piano, dello Spazio, della Linea, del Punto e del Pensiero.

Da leggere tutta d'un fiato è la dedica di Abbott: "Agli / Abitanti dello SPAZIO IN GENERALE / E a H. C. IN PARTICOLARE / E' Dedicata Quest'Opera / Da un Umile Nativo della Flatlandia / Nella Speranza che,/ Come egli fu Iniziato ai Misteri / Delle TRE Dimensioni / Avendone sino allora conosciute / SOLTANTO DUE / Così anche i Cittadini di quella Regione Celeste / Possano aspirare sempre più in alto / Ai Segreti delle QUATTRO CINQUE 0 ADDIRITTURA / SEI Dimensioni / In tal modo contribuendo / All' Arricchimento dell'IMMAGINAZIONE / E al possibile Sviluppo / Della MODESTIA, qualità rarissima ed eccellente /fra le Razze Superiori / Dell' UMANITA "SOLIDA".

(10) Ivi, pp. 13 7 - 13 8.

(11) Dal catalogo Les peintres futuristes italiens. Exposition du lundi 5 au samedi 24 février 1912, Paris, firmato da U, Boccioni, C. Carrà, L. Russolo, G. Balla, G. Severini, testo in francese riportato in Archivi del futurismo, Vol. 1. (raccolti e ordinati da M. DRUDI GAMBILLO e T. FIORI), De Luca Editore, Roma 1958, p. 104.

(I 2) L. FERRY, Homo Aestheticus, Costa & Nolan, Genova 1990, pp. 276-277. Diretta conseguenza di questo paradosso, per Ferry, è quella che : "Una rappresentazione plastica della quarta dimensione non poteva esser data se non prendendo in considerazione le proprietà puramente matematiche di figure definitivamente ridotte a due sole dimensioni". (Ivi).

(13) Ibidem, p. 279.

(1 4) K. S. MALEVICH, Scritti , a cura di A. B. NAKOV, Feltrinelli, Milano 1977, pp. 108-109.

(15) Ibidem, p. 230. Il titolo del testo è: Un'architettura che schiaffeggia il cemento armato. La Quarta dimensione coincide con l'inciso 'quattro linee nello spazio'.

(I 6) Archivi del Futurismo, op. cit. , pp. 302 - 303.

(17) Ibidem, p. 77. A conclusione del Manifesto, datato settembre - ottobre '13, Severini constata il superamento delle forme pittoriche e scultoree tridimensionali e prevede "la fine del quadro e della statua [in quanto] le nostre creazioni plastiche devono vivere all'aria aperta e completarsi in insieme architettonici, con i quali divideranno la cooperazione attiva del mondo esteriore di cui esse rappresentano l'essenziale specifico".

(18 ) Archivi del Futurismo, op. cit. p. 202. Il testo riportato nel volume, tratto a suo tempo direttamente dall'archivio dell'autore, è più vasto dell' articolo pubblicato nel Mercure de France del I febbraio 1916, col titolo Symbolisme plastique e symbolisme littéraire.

(19) Ibidem, p. 204.

(20) Ibidem p. 205.

(21) Ibidem, p. 2l7. La peinture d'Avant-garde è pubblicato in Le Mercure de France dell' 1 gennaio 1917.

(22) Ibidem, p. 218.

(23) Ivi

(24) Ivi

(25) Ibidem, pp. 219-220.

(26) Ibidem, p.220.

(27) Ibidem, pp. 220-221.

(28) E. BENE TTO, Quarta dimensione, Arte viva, giugno'59, p.24.

(29) Ibidem p. 26.

(30) Ibidem, p. 27.

(31) Ivi.

(32) Ibidem p. 28.

(33) Ivi.

(34) M. C. ESCHER, Grafica e disegni, Benedikt Taschen, Berlino 1990, p. 16.

(35) G. PACE, Gli oscuri giochi della tua mente, La Repubblica, 30 / 1 / '92, p. 31.

(36) R. PENROSE, op. cit. , pp. 207-208.

(37) R. ARNHEIM, Il pensiero visivo, Einaudi, Torino 1974, p. 341.

(38) Ibidem, p. 343.

(39) R. RUCKER, La quarta dimensione, Adelphi Edizioni, 1994, pp. 17-18.

(40) W. BENJAMIN, L' opera d' arte nell' epoca della sua riproducibilità tecnica, Einaudi, Torino 1966, p.23.

(41) N. NEGROPONTE, Essere digitali, Sperling & Kupfer Editori, Milano 1995, p.234.

(42) B. MANDELBROT, Il frattale è immagine del tutto, L'Unità, 22/4/'94, p. 5.

(43) G. DORFLES, Elogio della disarmonia, Garzanti, Milano 1986, pp. 97-99.

(44) O. BRIGGS, L'estetica del Caos, Red Edizioni, Como 1993, p. 158.